ABEL

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Il est connu pour ses travaux en analyse mathématique sur la semi-convergence des séries numériques, des suites et séries de fonctions, les critères de convergence d'intégrale généralisée, sur la notion d'intégrale elliptique ; et en algèbre, sur la résolution des équations.

site web : https://www.bourbaki.fr/,
Nicolas BOURBAKI, wikipedia,
Bibliographie, Eléments de mathématique,

Le séminaire Nicolas BOURBAKI, 1948-1964, W,

Cnrs, Bourbaki et la fondation des maths modernes, S.GUILBAUD,06-2015,

Eléménts de mathématique, BOURBAKI, et sur W,

CARNAP , 1891-1970

W,

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En 1928, Carnap publie Der logische Aufbau der Welt, en français « La construction logique du monde », où, selon l'une des interprétations possibles, il continuait le projet de Bertrand Russell de fonder toutes les connaissances sur la logique et un langage phénoméniste (la base des vécus élémentaires). Selon une autre interprétation, ce livre doit être compris comme appartenant à une tradition néokantienne et son ambition est de théoriser la constitution de l'objectivité.

1929, paraît un manuel de logique, Abriss der Logistik [abrégé de logique], auquel il avait travaillé depuis plusieurs années. Carnap écrit plusieurs articles et ouvrages. Deux textes méritent d'être cités, tant ils éclairent sur la période viennoise de ce penseur : Le dépassement de la métaphysique par l'analyse logique du langage et La syntaxe logique du langage.

À partir de 1941, il s'engage dans un vaste projet de logique inductive et de fondement logique des probabilités, auquel il travaillera jusqu'à la fin de sa vie. Le volumineux ouvrage qui paraît en 1950 (Logical Foundations of Probability) ne représente qu'une étape intermédiaire de ses recherches sur ce projet.

CARNAP poursuit les travaux de FREGE.

Rudolf Carnap (18 mai 1891 - 14 septembre 1970) est un philosophe allemand naturalisé américain en 1941. Il est membre du cercle de Vienne et le plus célèbre représentant du positivisme logique.

Aux États-Unis, il est professeur à l'université de Chicago où il demeure de 1936 à 1952 et publie de nombreux textes de sémantique et de logique modale. En 1952, Carnap quitte Chicago pour Princeton (Institute for Advanced Study, 1952-1954) avant de s'installer en Californie à UCLA où il enseigne de 1954 à 1962. Pendant ces années, il se consacre à la philosophie des sciences, à la logique inductive et au fondement logique des probabilités.

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CARTAN.HP 1904-2008,

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Il est connu pour ses travaux sur les fonctions de plusieurs variables complexes, la topologie (faisceaux, complexes d'Eilenberg-Mac Lane) et l'algèbre homologique. Il a été un des membres fondateurs du groupe Bourbaki.

Henri Cartan, né le 8 juillet 1904 à Nancy et mort le 13 août 2008 à Paris, est un mathématicien français. Il est le fils du mathématicien Élie Cartan et de Marie-Louise Bianconi. Il est couramment considéré comme l'un des mathématiciens français les plus influents de son époque. Il était le frère de Louis Cartan, physicien et résistant, de Jean Cartan, compositeur, ainsi que d'Hélène Cartan, mathématicienne.

Les séminaires CARTAN,

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Jean Cavaillès repère dans le progrès des mathématiques ce qu'il appelle « thématisation », un acte, un « geste » intellectuel du mathématicien qui consiste non pas à inventer des objets qui valident un certain type de relations, comme le fait tout chercheur dans le cadre de son époque, par exemple Carl Friedrich Gauss inventant le cyclotome pour résoudre certaines équations, mais à prendre pour objet (de) une relation entre objets elle-même.
L'invention, et non pas la découverte264, du concept d'anneau, pour reprendre l'exemple sus cité, répond aux besoins du mathématicien dans son étude des nombres sous un certain aspect comme celle de groupe abélien répond à leur étude sous un autre aspect. L'anneau peut à son tour être pris par thématisation comme élément d'une structure encore plus abstraite, le morphisme, comme le groupe abélien peut l'être de la catégorie des groupes abéliens. Il n'y a donc pas dans ce processus de thématisation une hiérarchie des structures qui émaneraient, comme le soutient Albert Lautman, à partir d'Idées fondamentales, telles que la dyade symétrie dissymétrie, par unification d'un divers donné et par élimination du concret de la structure, comme si celle-ci préexistait .

« Le problème du fondement des mathématiques est justement que l'on puisse déduire quelque chose279... »

— Jean Cavaillès relevant qu'il y a un a priori philosophique à fonder les mathématiques sur la seule logique et, à la suite de Kant 280, une insuffisance à réduire la démonstration à la non contradiction.

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Dans sa thèse principale Méthode axiomatique et formalisme281, rédigée en 1936 et 1937, Jean Cavaillès, reprenant très en détail les résultats publiés en 1931 par Kurt Gödel et celui (en) obtenu en 1936 par Gerhard Gentzen, avec lequel il a longuement discuté depuis leur rencontre à l'automne 1932 des théorèmes de Skolem et de Herbrand282, explicite qu'en toute logique une démonstration mathématique ne suppose pas, contrairement à ce qu'espérait David Hilbert, que les axiomes dont elle s'origine soient non contradictoires entre eux283. Autrement dit une axiomatisation, en arithmétique, n'est vraie, non contradictoire, que dans la limite où elle sert son objet, à savoir les théorèmes démontrés, et toute axiomatique est amenée à être révisée selon les besoins. « [Une] contradiction observée serait inhérente aux principes mêmes qu'on a mis à la base de cette théorie; ceux-ci seraient donc à modifier, sans compromettre si possible les parties de la mathématique auxquelles on tient le plus. »284. Exit l'ontologie.

C'est cet écart entre l'indécidable des antécédents et l'usage du tiers exclu qui est fait en mathématiques285 qui amènera Nicolas Bourbaki a substitué à la notation > la notation ⇒, qui est une conjonction entre une condition et une conséquence, pour désigner une réduction à l'absurde, provisoire donc, et plus généralement à apporter un soin nouveau aux définitions.

Dans un de ses premiers articles286, Jean Cavaillès démontre trois théorèmes énoncés par Richard Dedekind. Il est le premier à le faire14. Par la suite, il ne persévèrera pas dans cette voie. Plaisantant parfois les mathématiciens enfermés dans la technique de la démonstration, « brutiers infinitésimaux »287 selon le mot de Jean Burdin288 ironiquement détourné par Léon Brunschvicg289, il préférera celle de la philosophie, telle qu'il la concevait, c'est-à-dire un raisonnement logique mais, dans l'optique de Frege, orienté par ce qui lui donne du sens.

source et suite sur wikipedia,

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COUTURAT

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Son premier ouvrage important est De l'Infini mathématique (1896), suivi d'une collection de travaux non publiés de Gottfried Wilhelm Leibniz en 1903, qui vint à l'attention de Bertrand Russell1 et Giuseppe Peano. En 1905 il publie Les principes des mathématiques. Il s’agit, indique l’avant-propos, d’un compte-rendu du livre de Russell The Principles of Mathematicsparu en 1903, accompagné de commentaires et d’une mise en perspective vis-à-vis des travaux contemporains sur le sujet. Il a publié également L'Algèbre de la logique. À partir de 1907 il devint un des participants majeurs du mouvement de création de l'ido, une version de la langue internationale espéranto considérée par certains observateurs comme une amélioration significative, mais rejetée par une grande partie du mouvement espérantiste.

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DESARGUES

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Considéré comme l’un des fondateurs de la géométrie projective, il en tira une théorie unifiée des coniques.
On lui doit le théorème de Desargues sur les triangles en perspective, et aussi le théorème de Desargues sur l’involution.

La géométrie projective, Origine & Naissance.
sur gaogoa, source TEEA, Argentine via J-M.VAPPEREAU,

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La théorie de la relativité d'Albert Einstein a inspiré à Leó Szilárd l'idée de la réaction en chaîne nucléaire , le principe sur lequel repose la bombe atomique à laquelle Einstein n'avait pas pensé.

pour la relativité généralisée (gravitation) Einstein en est bien le seul auteur mais au niveau mathématique, il a deviné les formules mais ne les a pas démontrées à partir des principes qu'il a énoncés (d'autres l'ont fait à sa place) ; mais il s'agit néanmoins d'un exploit formidable et la relativité généralisée est considérée par certains comme la plus belles théorie physique existante et ne serait-ce que pour cela il est incontestablement un génie.

Ajoutons qu'Einstein, ne croyait pas à la mécanique quantique ("Dieu ne joue pas aux dés") ; il avait tort, mais on lui pardonne car avec sa théorie des quantas (son article sur l'effet photoélectrique a eu un immense retentissement), c'est lui qui a relancé la polémique sur la nature de la lumière (dualité "onde/particule) et qui est à l'origine de la mécanique quantique, même si, plus tard, il fut en désaccord avec l'interprétation (dite de Copenhague) adoptée par ses collègues Max Bor, Heisenberg et Schrodinger (fondateurs de la mécanique quantique) sur la caractère probabiliste de cette dernière.(Quora source)

L'expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories complémentaires élaborées par Albert Einstein : la relativité restreinte et la relativité générale1. Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne, qui s'applique à la mécanique newtonienne.

En 1905, le physicien allemand Max Planck utilise l'expression « théorie relative » (Relativtheorie), qui met l'accent sur l'usage du principe de relativité. Dans la partie discussion de cet article, le physicien allemand Alfred Bucherer utilise pour la première fois le terme « théorie de la relativité » (Relativitätstheorie)2,3.

Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité restreinte comprennent plusieurs aspects :

• l'espace-temps : l'espace et le temps doivent être perçus comme formant une seule entité ;
• la vitesse de la lumière dans le vide est invariable, quelles que soient la vitesse de l'observateur et celle de la source lumineuse. Les calculs montrent que dans ces conditions, elle est aussi la vitesse maximale de déplacement, qu'elle n'est atteinte que pour la lumière ou toute entité dépourvue de masse, et doit être considérée comme la vitesse maximale de déplacement de l'information ;
• les mesures de diverses quantités sont relatives à la vitesse de l'observateur. En particulier, le temps se dilate et l'espace se contracte.

Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité générale comprennent :

• l'espace-temps se courbe d'autant plus que la masse à proximité est grande ;
• la gravitation influence l'écoulement du temps.

source wikipedia,

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Les mathématiques sont dérivées de principes logiques,

Cherche à expliciter les principes des mathématiques mais aussi les principes logiques qui régissent la structure formelle. recherche d'un symbolisme adéquat

Apports de Frege aux mathématiques :

La théorie de la démonstration et de la définition; l'analyse des nombres.
Le développement d'une notation formelle de la pensée est une tentative de réaliser l'idée de Leibniz d'une langue caractéristique universelle.

Avec l'Idéographie, Begriffsschrift, Frege cherche à expliciter les principes propres au mathématiques. mais aussi les principes logiques de la culture formelle.

Son but : expliciter toutes les étapes du raisonnement en spécifiant les méthodes d'inférence. Pour cela il faut un symbolisme propre aux mathématiques et au langage naturel.
Frege s'appuie également sur la subsitution de l'égalité par l'implication (Peirce) et le calcul élémentaire des propositions (Mac Roll 1877) .

La logique n'est plus subordonnée au langage naturel !
La propostion est considérée en bloc.
Un symbole représente le contenu conceptuel d'une proposition..
Son symbolisme différencie le contenu conceptuel et l'acte de jugement.
Le symbole I--- sera repris par Russell pour marquer une assertion ou un axiome.

Si l'idéographie de Frege n'a pas été retenue dans la logique contemporaine, elle constitue la première forme d'un système déductif (axiomatique du calcul des propositions).
Sans user des tables de vérité Frege, néanmoins ses calculs sont fondés sur les fonctions de vérité.
Frege exclut les propostions modales de son système logique.
Pour le calcul des propositions : - opérateurs primitifs, Propositons primitives, Règles et principes fondamentaux, Frege définit les notions de logique de Fonction, de Concept, d'Objet.

Les expressions de sens différents peuvent avoir un seul référent (Vénus ...) ou n'avoir aucun référent ( la plus petite fraction !).
Le signe exprime un sens et désigne une référence (Sinn and Bedeutung). Les énoncés propositionnels réfèrent à la valeur de vérité ( V ou F).

En 1983 il présente la logique non pour elle même mais comme un instrument nécessaire à la réduction logistique de l'arithmétique.
Russel critiquera la règle de compréhension non restreinte de Frege qui rendait sa théorie contradictoire (de même pour Cantor et la théorie des ensembles).

En 1902 Frege arrête de publier après avoir signalé l'objection de Russell (la critique de Russell deviendra la théorie des Types de Russell). Il abandonne l'écriture de son 3 eme volume et Il ne publiera plus que des travaux mineurs et il abandonne le logicisme en 1923 pour chercher une fondation des mathématiques sur la Géométrie.

Ses derniers écrits semblent soutenir l'avènement d'Hitler au pouvoir et les projets de d'expulsion des Juifs d'Allemagne.Un seul étudiant de Frege , CARNAP Rudolf poursuivra son oeuvre logique.

Gottlob Frege (/ˈɡɔtloːp ˈfreːɡə/), de son nom complet Friedrich Ludwig Gottlob Frege, né le 8 novembre 1848 à Wismar et mort le 26 juillet 1925 à Bad Kleinen, est un mathématicien, logicien et philosophe allemand, créateur de la logique moderne et plus précisément du calcul propositionnel moderne : le calcul des prédicats.

Il est en outre considéré comme l'un des plus importants représentants du logicisme. C'est à la suite de son ouvrage Les Fondements de l'arithmétique, où il tente de dériver l'arithmétique de la logique, que Russell lui a fait parvenir le paradoxe qui porte son nom. Néanmoins Frege n'entendait nullement réduire le raisonnement mathématique à sa seule dimension logique. Son idéographie visait à associer sur la même page, et de manière explicite, le contenu mathématique (ligne horizontale de la page) et la structure logique (ligne verticale). source W;

Bibliographie, gaogoa, et bio2,

Frege, Encyclopédie philosophique,

L'idéographie (Begriffsschrift) est un langage entièrement formalisé inventé par le logicien Gottlob Frege et qui a pour but de représenter de manière parfaite la logique mathématique.

Ce langage utilise le plan comme espace de travail et ne se limite pas à la ligne (comme la logique d'aujourd'hui, basée sur les Principia Mathematica de Bertrand Russell et Alfred North Whitehead qui en est tributaire). Ce langage est aujourd'hui inutilisé même s'il en subsiste des traces par exemple
dans le symbole de négation « ¬ »,
de conséquence « »
ou de tautologie modélisation «  ».

W,

Horizontalement : Math
Verticalement : Logique

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Dans son autobiographie, il classe ainsi ses contributions majeures (par ordre chronologique d'apparition) source wikipedia,  :

1. Produits tensoriels topologiques (en) et espaces nucléaires
2. Dualité (en) « continue » et « discrète » (catégories dérivées, « six opérations »)
3. Techniques Riemann-Roch-Grothendieck (K-théorie, relation à la théorie des intersections (en))
4. Schémas
5. Topos
6. Cohomologie étale et l-adique
7. Motifs et groupe de Galois motivique (⊗-catégories de Grothendieck)
8. Cristaux et cohomologie cristalline, yoga « coefficients de De Rham », « coefficient de Hodge »
9. « Algèbre topologique » ∞-champs, dérivateurs ; formalisme topologique des topos, comme inspiration pour une nouvelle algèbre homotopique (en)
10. Topologie modérée
11. Yoga de géométrie algébrique anabélienne (en), théorie de Galois-Teichmüller
12. Point de vue « schématique » ou « arithmétique » pour les polyèdres réguliers et les configurations régulières en tous genres.
    

Alexandre (ou Alexander1) Grothendieck (prononcé en allemand : [ˈɡroːtn̩diːk]) est un mathématicien français, né le 28 mars 1928 à Berlin et mort le 13 novembre 2014 à Saint-Lizier2, près de Saint-Girons (Ariège). Il est resté longtemps apatride tout en vivant principalement en France ; il obtient la nationalité française en 19713.

Il est considéré comme le refondateur de la géométrie algébrique et, à ce titre, comme l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle4,5. Il était connu pour son intuition extraordinaire et sa capacité de travail exceptionnelle. La médaille Fields lui a été décernée en 1966.
source w,

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en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Son travail doctoral conduit au théorème de Mordell-Weil. Il formule l'argument de descente infinie, et pour ce faire, il définit une mesure de la taille des points rationnels d'une variété algébrique ; et il jette les bases de la cohomologie galoisienne, qui ne sera appelée ainsi que deux décennies plus tard. Ces deux aspects ont largement été développés depuis pour devenir des objets centraux de la géométrie algébrique actuelle.

Dans les années 1930, il fournit une preuve du théorème de Riemann-Roch, à la suite des travaux de Claude Chevalley.

Parmi ses plus grands travaux figure la preuve donnée en 1940, en prison, de l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zêta des courbes sur les corps finis. Les conjectures de Weil ont largement influencé les géomètres algébristes depuis 1950 ; elles seront prouvées par Bernard Dwork, Alexandre Grothendieck (qui, pour s'y attaquer, mit sur pied un gigantesque programme visant à transférer les techniques de topologie algébrique en théorie des nombres), Michael Artin et enfin Pierre Deligne qui démontre, en 1973, l'hypothèse de Riemann sur les corps finis, partie la plus profonde des conjectures d'André Weil.

En topologie générale, il introduit le concept d'espace uniforme. Son travail sur les faisceaux a été très peu publié, mais apparaît dans ses correspondances avec Henri Cartan à la fin des années 1940.

Plus basiquement, il a introduit la notation Ø pour l'ensemble vide

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