II- triangle de Pascal, III- ensemble videJ.LACAN gaogoa
XIX-
...Ou Pire 1971-1972
version
rue CB note
19 avril 1972
(p85->)
II- triangle de Pascal, III- ensemble vide
Je commence parce qu'on m'a demandé en raison de choses prévalentes, je crois, de tout un fonctionnement dans cet endroit, on m'a demandé de finir plus tôt, beaucoup plus tôt que d'habitude, voilà.
Alors pour aborder ce qui vient, dans une trame, dont j'espère que le souvenir ne vous est pas trop lointain, je le reprends du " y a de l'UN " que j'ai déjà proféré. Pour ceux qui sont là, qui se parachutent d'une contrée lointaine, je repère ce que ça veut dire parce que ce n'est pas d'une sonorité très habituelle . " Y a d' l'UN ", ça a l'air de venir de je ne sais où : de l'UN, de l'UN, hein, on ne s'exprime pas comme ça d'habitude. C'est pourtant de ça que je parle : de l'UN -- L'--U-N-- il y en a. C'est une façon de s'exprimer qui va se trouver - je l'espère du moins pour vous - en accord avec quelque chose qui, j'espère, n'est pas nouvelle pour tout le monde ici - Dieu merci, je sais que j'ai des oreilles, enfin certaines, averties des champs qu'il se trouve que je dois toucher pour faire face à ce dont il s'agit dans le discours psychanalytique - ça va donc se montrer d'accord - je vous expliquerai en quoi - cette façon de s'exprimer, avec ce qui historiquement s'est produit comme la théorie, la Théorie des Ensembles. Vous avez entendu parler de ça, vous avez entendu parlé de ça parce que c'est comme ça qu'on enseigne maintenant les mathématiques à partir de la classe de 11eme. Il n'est pas sûr, bien sûr, que ça améliore beaucoup la compréhension.
Mais enfin par rapport à ce qu'il en est d'une théorie dont un des ressort
c'est l'écriture, non pas, bien sûr, que la Théorie des Ensembles implique
une écriture univoque, mais que , comme bien des choses en mathématiques, elle
ne s'énonce pas sans écriture la différence donc avec (p86->)
cette formule, ce " y a d’ l’UN " que
j’essaye de faire passer, c’est
justement toute la différence qu’il y a de l’écrit à la parole.
C’est une
faille qui n’est pas toujours facile à combler. C’est bien pourtant à quoi
je m ’essaye en l’occasion et vous devez tout de suite pouvoir comprendre
pourquoi, s’il est vrai que, comme je les récrites au tableau, les deux supérieures
de ces quatre formules où j’essaye de fixer ce qui supplée à ce que j’ai
appelé l’impossibilité d’écrire justement ce qu’il en est du rapport
sexuel, c’est bien dans la mesure où, au niveau supérieur, deux termes s’affrontent
dont l’un est " il existe " et
l’autre " il n’existe pas " que
j’apporte ou je tente d’apporter la contribution qui peut là afférer utilement à partir
de la Théorie des Ensembles. Il est remarquable déjà,
il est frappant que " il y ait d’ l’UN " n’ait fait
aucun sujet d’étonnement, si je puis dire. C’est tout de même peut-être aller
un peu vite que de le formuler ainsi ; car enfin on peut mettre à l’actif de
ce que j’appelle, comme étonnement, ce en quoi je vous interpelle de vous étonner,
on peut y mettre à l’actif justement ce dont j’ai parlé, ce dont je vous
ai invités de la façon la plus vive à prendre
connaissance, c’est ce fameux Parménide, du cher Platon, qui est toujours si
mal lu, enfin en tout cas que, moi, je m’exerce à lire d’une façon qui
n’est pas tout à fait celle reçue, pour le
Parménide, c’est tout à fait frappant de voir à quel point, à un certain
niveau qui est celui proprement du discours universitaire, il met dans
l’embarras. La façon qu’ont tous ceux qui
profèrent des choses sages au titre de l’Université, est toujours
prodigieusement embarrassée, comme s’il s’agissait là d’une gageure,
d’une sorte d’exercice en quelque sorte purement gratuit, de ballet ; et le
déroulement des huit hypothèses concernant les rapports de l’UN et de
l’Être reste en quelque sorte problématique, un objet de scandale. Certains,
bien sûr,
se distinguent en en montrant la cohérence, mais cette cohérence apparaît à
l’ensemble gratuite et la confrontation des interlocuteurs, elle-même, paraît
confirmer le caractère anhistorique, si on peut dire, de l’ensemble. Je
dirais, si tant est que je puisse avancer quelque chose sur ce point, je dirais
que ce qui me frappe c’est vraiment tout à fait le contraire et que si
quelque chose me donnait l’idée qu’il y a dans le dialogue platonicien je
ne sais quelle première assise d’un discours proprement analytique, je dirais
que c’est bien celui-là, le Parménide, qui me le
confirmerait. Il est tout
à fait clair en effet que si vous vous rappelez ce que j’ai donné, ce que
j’ai inscrit comme structure, ce que je vous donne comme structure est bien
que quelque chose dont ce n’est pas par hasard que ça
se
trouve au 
la fonction d’argument et le fait qu’il
y a quelque x qui ne peut remplir la place d’argument que dans l’énonciation
exactement négation de la première. Si on vous dit que tout cheval est, ce
que vous voudrez, enfin fougueux et si on y ajoute qu’il y a quelque cheval,
au moins un, qui ne l’est pas, dans la logique
aristotélicienne, ceci est une contradiction.
Ce
que j’avance est fait pour vous faire saisir que justement, si je peux, si
j’ose avancer deux termes, ceux qui sont de droite dans mon groupe à quatre termes – ce n’est pas hasard qu’ils sont quatre –, si je peux
avancer que1que chose qui manifestement fait défaut à ladite logique, c’est
bien certainement dans la mesure où le terme d’existence a changé de sens
dans l’intervalle et où il ne s’agit pas de la même existence quand il
s’agit de l’existence d’un terme qui est capable de prendre, dans une
fonction mathématique articulée, la place de l’argument.
Rien
encore ici ne fait le joint de ce " y a d’ l’UN " comme tel avec cet
" au moins UN " qui est très précisément ce qui est formulé par la
notation
:
il existe un x, au moins UN, qui donne à ce qui se pose comme
fonction une valeur qualifiable du vrai. Cette distance qui se pose de
l’existence, si l’on peut dire – je ne l’appellerai pas autrement aujourd’hui
faute d’un meilleur
mot – de l’existence naturelle qui n’est
pas limitée aux organismes vivants – ces UNS, par exemple,
nous pouvons les voir dans les corps célestes dont ce n’est pas pour rien qu’ils
sont parmi les premiers à avoir retenu une attention proprement scientifique ;
c’est très
précisément dans cette affinité qu’ils ont avec l’UN. Ils apparaissent
comme s’inscrivant au ciel comme des éléments d’autant plus aisément
marquables de l’UN qu’ils sont punctiformes, et il est certain
qu’ils ont beaucoup fait pour mettre l’accent comme forme de passage, pour
mettre l’accent sur le point. Si entre l’individu et ce qu’il en est
de ce que j’appellerai l’UN réel, dans l’intervalle, les éléments qui se
signifient comme punctiformes ont joué un rôle éminent pour ce qui est de
leur transition, est-ce qu’il ne vous est pas sensible et certainement est-ce
que ça n’a pas retenu notre oreille au passage que je parle de l’UN comme
d’un Réel, d’un Réel qui aussi bien peut n’avoir rien à faire avec
aucune réalité ? J’appelle réalité ce qui est la réalité, à savoir, par
exemple, votre
J’y
reviens : au niveau de l’histoire naturelle d’un Pline, je ne
vois pas ce qui différencie la licorne d’aucun autre animal qui est parfaitement
existant dans l’ordre naturel. La perspective qui interroge le Réel dans une
certaine direction nous commande d’énoncer ainsi les choses. le ne suis pas du
tout pour autant en train de parler de quoi que ce soit qui ressemble à un progrès.
Ce que nous gagnons sur le plan scientifique qui est incontestable, n’accroît
absolument pas pour autant par exemple notre sens critique
en matière de vie politique par exemple. J’ai toujours souligné que ce que
nous gagnons d’un côté est perdu de l’autre pour autant qu’il y a une
certaine limitation inhérente à ce qu’on peut appeler le champ de l’adéquation
chez l’être parlant. Ce n’est pas parce que nous avons fait en ce qui
concerne la vie, la biologie, des progrès depuis Pline que c’est un progrès
absolu. Si un citoyen romain voyait comment nous vivons, il est malheureusement
hors de cause de l’évoquer en cette occasion en personne,
mais enfin il serait probablement bouleversé d’horreur. Comme nous ne
pouvons en préjuger que d’après les ruines qu’a laissées cette
civilisation, l’idée que nous pouvons nous en faire, c’est de voir, c’est
d’imaginer ce que seront les restes de la notre dans un temps qu’il est
supposable équivalent. Ceci pour ne pas que vous vous montiez le bourrichon,
si je puis dire, sur le sujet d’une confiance que je ferais particulièrement
à la science. Il ne s’agit pas dans le
discours analytique d’un discours scientifique, mais d’un discours dont la
science nous fournit le matériel, ce qui est bien différent.
Donc
il est clair que la prise de l’être parlant sur le monde où il se conçoit
comme plongé, schéma déjà qui sent son fantasme, cette prise tout de même ne va en augmentant –
ça, c’est certain – cette prise ne va en augmentant
que dans la mesure où quelque chose s’élabore et c’est l’usage du
nombre. Je prétends vous montrer que ce nombre se réduit tout simplement à ce
" y a d’ l’UN".
Alors
il faut voir ce qui historiquement nous permet d’en savoir, sur ce " y a d’
l’UN ", un petit plus que ce que Platon en fait, si je puis
Pour que l’UN ait pu être élaboré dans son existence d'UN
de la façon que fonde la Mengenlehre, la Théorie
des Ensembles pour le traduire comme l’a traduit, non sans bonheur, en français,
mais certainement avec un accent qui ne répond pas tout à fait avec le sens du
terme original en allemand qui, du point de vue de ce qu’on vise n’est pas
meilleur, eh bien, ceci n’est venu que tard et n’est venu qu’en fonction
de toute l’histoire des mathématiques elles-mêmes dont, bien entendu, il
n’est pas question ici que je vous retrace même le plus bref des abrégés,
mais dans lequel il faut tenir compte de ceci qui a pris tout son accent,
toute sa portée, à savoir de ce que je pourrais appeler les
extravagances du nombre. Ça a commencé évidemment très tôt, puisque
déjà au
temps de Platon le nombre irrationnel faisait problème et
qu’il se trouvait hériter – il
nous en donne l’énoncé avec tous les développements dans le Theetete – le
scandale pythagoricien du caractère
irrationnel de la diagonale du carré, du fait qu’on ne finira jamais,
et ceci démontrable sur une figure, et c’est bien ce qu’il y avait de
plus heureux pour leur faire apparaître à cette époque l’existence de ce
qu’appelle l’extravagance numérique, je veux
dire quelque chose qui sort du champ de l’UN ; après ça, quoi ? Quelque chose
que nous pouvons, dans la méthode dite d’exhaustion d’Archimède, considérer
comme l’évitement de ce qui vient, tellement de siècles après, sous
la forme des paradoxes du calcul infinitésimal, sous la forme de l’énoncé de
ce qu’on appelle l’infiniment petit, chose qui ne met que très
longtemps à
être élaborée en posant, en posant quelque quantité finie dont on dit que de
toute façon un certain mode d’opérer aboutira à être plus petit que la
dite quantité, c’est-à-dire en fin de compte à se servir du fini pour
définir
un transfini. Et puis l’apparition, ma foi – on ne
peut pas ne pas la mentionner – de la série trigonométrique de Fourrier qui
n’est pas
certainement sans poser toutes sortes de problèmes de fondement théorique,
tout ceci conjugué avec la réduction, la réduction à des principes
parfaitement finitistes du calcul dit infinitésimal qui se poursuit la
même
époque et dont Cauchy est le grand représentant. Je ne fait cette évocation
ultra-rapide que pour dater ce que veut dire la reprise sous la plume de Cantor
de ce qui est le statut de l’UN.
Le
statut de l’UN à partir du moment où il s’agit de le fonder ne peut partir
que de son ambiguïté, à savoir que le ressort de la Théorie des Ensembles
tient tout entier à ce que le UN qu’il y a de l’ensemble est
distinct de l’UN de l’élément. La notion de l’ensemble repose
sur ceci qu’il y a
ensemble même avec un seul élément. Ca ne se
dit pas comme ça d’habitude, mais le propre de
la parole est justement d’avancer avec des gros sabots. Il suffit d’ailleurs
d’ouvrir n’importe quel exposé de la
La
Théorie des Ensembles est donc faite pour restaurer le statut du nombre.
Et ce qui prouve qu’elle le restaure effectivement, ceci dans la perspective
de ce que j’énonce, c’est que très précisément à énoncer, comme elle le
fait, le fondement de l’UN et à y faire reposer le nombre comme classe d’équivalence,
elle aboutit à la mise en valeur de ce qu’elle appelle le non-dénombrable
qui est très simple et – vous allez le voir – d’un accès immédiat. Mais
qu’à le traduire dans mon vocabulaire j’appelle, non pas le non-dénombrable,
objet que je n’hésiterai pas à qualifier de mythique, mais l’impossibilité
à dénombrer, ce qui se démontre par la méthode – ici je m’excuse de ne
pas pouvoir en illustrer immédiatement la facture ; mais vraiment après tout
qu’est-ce, qui empêche ceux d’entre vous que ce discours intéresse
d’ouvrir le moindre traité dit " Théorie naïve
des ensembles ", pour s’apercevoir que, par la méthode dite
diagonale, on peut faire toucher du doigt qu’il y a moyen à énoncer d’une
série de façons différentes la suite des
nombres entiers, car à la vérité on peut l’énoncer
de 36 000 façons, qu’il sera immédiatement accessible de montrer que,
quelle que soit la façon dont vous l’ayez
ordonnée, il y en aura, à prendre simplement la diagonale et dans cette
diagonale à en changer à chaque fois, selon une règle à l’avance déterminée,
les valeurs, une autre façon encore de les dénombrer. C’est très précisément
en ceci que consiste le réel attaché à l’UN. Et si tant est qu’aujourd’hui je
puisse en pousser assez loin, dans le temps auquel j’ai
promis que je me limiterai, la démonstration, je vais tout de même dès
maintenant mettre l’accent sur ce que comporte cette ambiguïté mise au
fondement de l’UN comme tel.
C’est
très exactement ceci que, contrairement à l’apparence, l’UN ne
saurait être
fondé sur la mêmeté, mais qu’il est très précisément au contraire, par
la Théorie des Ensembles, marqué comme devant être fondé sur la pure et
simple différence. Ce qui règle le fondement de la Théorie des Ensembles
consiste en ceci que, quand vous en notez, disons pour aller au plus simple,
trois éléments chacun séparé par une virgule, donc par deux virgules, si un
de ces éléments d’aucune façon apparaît être le même qu’un autre,
s’il peut lui être uni par quelque signe que ce soit d’égalité, il est
purement et simplement tout un avec celui-ci. Au premier niveau de bâti qui
constitue la théorie dite de l’ensemble, est l’axiome d’extensionalité
qui signifie très précisément ceci qu’au départ il ne saurait s’agir de même.
Il s’agit très précisément de savoir à quel moment dans cette construction
surgit la mêmeté. La mêmeté, non seulement surgit sur le tard dans la
construction et, si je puis dire, sur un
Néanmoins
ce que je veux marquer, c’est ce qui résulte de ce départ même de la Théorie
des Ensembles et de ce que j’appellerai – pourquoi pas ? – la cantorisation – à
condition de l’écrire C-A-N – du nombre. Voici ce dont
il s’agit : pour y fonder d’aucune façon le
cardinal, il n’y a d’autre voie que celle de ce qu’on appelle
l’application bi-univoque d’un ensemble sur un autre. Quand on veut
l’illustrer, on ne trouve rien de mieux, on ne trouve rien d’autre que d’évoquer
alternativement je ne sais quel rythme primitif
de potlatch pour la prévalence d’où sortira l’instauration d’un chef au
moins provisoire ou plus simplement la manipulation dite du maître d’hôtel,
celui qui confronte un par un chacun des éléments d’un ensemble de couteaux
avec un ensemble de fourchettes. C’est à partir du moment où il y en aura
encore un d’un côté et plus rien de l’autre, qu’il s’agisse des
troupeaux que font franchir un certain seuil chacun des deux concurrents au
titre de chef ou qu’il s’agisse du maître d’hôtel qui est en train de
faire ses comptes, il apparaîtra quoi ? L’UN commence au niveau où il y en a
UN qui manque. L’ensemble vide est donc proprement légitime de ceci qu’il
est la porte dont le franchissement constitue la naissance de l’UN.
Le premier UN qui se désigne à une expérience recevable, je veux dire
recevable mathématiquement, d’une façon qui puisse s’enseigner – car c’est
cela que veut dire mathème – et non pas qui fasse appel à cette sorte
de fiction grossière qui est ce11e de " c’est à peu près la même chose ",
ce qui constitue I'UN et très précisément qui le justifie, qui ne se désigne
que comme distinct et non d’aucun autre repérage qualificatif, c’est
qu’il ne commence que de son manque. Et c’est bien en quoi nous apparaît,
dans la reproduction que je vous ai faite du triangle de Pascal,
(p92->) la
nécessité de distinguer chacune de ces lignes dont vous savez, je pense,
depuis un bout de temps – je vous l’ai assez souligné – comment elles se
constituent, chacune étant faite de l’addition de ce qui est en haut sur la même
ligne et de ce qui est noté sur la droite – chacune de ces lignes est donc
constituée ainsi. Il importe de s’apercevoir de ce que désigne chacune de
ces lignes. l’erreur, le manque de fondement qui s’énonce de la définition
d’Euclide qui est très précisément celle-ci
:
"
La monade est ce selon quoi chacun des étant peut être dit UN et le nombre 
est très précisément cette multiplicité qui est faite de monades."
Le
triangle de Pascal n’est pas ici pour rien. Il est là pour Figurer ce qu’on
appelle, dans la Théorie des Ensembles, non pas les éléments, mais les
parties de ces ensembles. Au niveau des parties, les parties énoncées
monadiquement d’un ensemble quelconque sont de la seconde ligne, la monade
est seconde. Comment appellerons-nous la première, celle qui est en somme
constituée de cet ensemble vide dont le franchissement est justement ce dont
l’UN se constitue ? Pourquoi ne pas user de l’écho que nous donne la langue
espagnole et ne pas l’appeler la NADE. Ce dont il s’agit dans ce UN répété
de la première ligne, c’est très proprement la NADE, à savoir la porte
d’entrée qui se désigne du manque. C’est à partir de ce qu’il en est de
la place où se fait un trou, de ce quelque chose que, si vous en voulez une
figure, je représenterai comme étant le fondement du « Y a d’ l’UN
», qu’il peut y avoir de l’UN dans la figure d’un sac qui est un sac
troué : rien n’est UN qui ne sorte du sac ou qui, dans le sac, ne rentre,
c’est là le fondement originel, à le prendre intuitivement, de l’UN.
Je ne puis en raison de mes promesses – et je le regrette – pousser donc ici plus loin aujourd’hui ce que j’ai apporté. Sachez simplement que nous interrogerons, comme j’en avais déjà ici désigné la figure, que nous interrogerons, à partir de la triade, la forme la plus simple ou les parties, les sous-ensembles faits de parties de l’ensemble, où ces parties sont figurables d’une façon qui nous satisfasse, pour remonter à ce qui se passe au niveau de la dyade et au niveau de la monade. Vous verrez qu’à interroger, non pas ces nombres premiers, mais ces premiers nombres, sera soulevée une difficulté dont le fait qu’elle soit une difficulté figurative, j’espère, ne nous empêchera pas de comprendre qu’elle est l’essence et de voir ce qu’il en est du fondement de l’UN.
note :
bien que relu, si vous découvrez des erreurs manifestes dans ce séminaire, ou
si vous souhaitez une précision sur le texte, je vous remercie par avance
de m'adresser un email. Haut
de Page